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Cantors erstes Diagonalargument

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Cantors erstes Diagonalargument, häufig auch einfach nur Cantors Diagonalargument genannt und dann zumeist mit Cantors zweitem Diagonalargument verwechselt, ist einer der schrägsten Beiträge des deutschen Mathematikers Georg Cantor (* 3. März 1845 in Sankt Petersburg; † 6. Januar 1918 in einer Halle an der Saale) zur Mathematik.

Georg Cantor

Als im Jahre 1862 Gottfried Wilhelm Leibniz, ein noch viel größerer Mathematiker und Lehrer Georg Cantors, im Philosophieunterricht seine Klasse fragte, was denn das langweiligste Thema überhaupt sei, da gab es neben zahlreichen unverschämten Zwischenrufen auch die folgenreiche Antwort Cantors: „Die Symmetrieverhältnisse beim Schachbrett“, denn, so erläuterte er, „die beiden Dinger quer durch die Mitte sind keine Symmetrieachsen, hier wegen Weiß und schwarze Felder, aber die Diagonalen, das sind Symmetrieachsen.“ Während der Rest der Klasse gelangweilt in den gewohnten Halbschlaf zurück fiel, war Leibniz über alle Maße begeistert, freute sich einen Keks und lobte Cantor für seine geniale Einfallslosigkeit. Cantor selbst sollte das Thema nie mehr loslassen; aus einer eigensinnigen Laune heraus setzte er sich selbst zum Ziel, sein ganzes Leben dem uninteressantesten aller Themen zu widmen – den Diagonalen des Schachbretts. Begünstigt wurde dieser ungewöhnliche Entschluss wohl auch durch seine leicht schizophrene Veranlagung, die Leibniz liebevoll in folgende Worte gefasst haben soll: „Die Schnittmenge der Menge aller Wahnsinnigen und der Menge, die nur Georg Cantor enthält, hat eine Mächtigkeit von mindestens drei.

Problemstellung und Lösungsansatz

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Erst beim dritten oder vierten Anlauf gelang es Cantor schließlich im Alter weit jenseits der Zwanzig, die gymnasiale Oberstufe mit dem so genannten Gnadenabitur abzuschließen. Geistig also alles andere als auf der Höhe, blieb ihm nichts als schwerste körperliche Arbeit, um sich finanziell einigermaßen über Wasser zu halten. So arbeitete er unter Anderem als Möbelpacker und stand nun also mit seinem Kumpanen vor einem schier unlösbaren Problem: Ein zwei Meter dreißig hohes Regal musste durch eine nur zwei Meter hohe und einen Meter dreißig breite Tür. Die Verzweiflung war groß, war der Befehl doch klar: Das Regal durch die Tür, ansonsten Kopf ab! Doch Cantor ließ sich nicht unterkriegen. Nach über zweistündigem fieberhaftem Überlegen kam er zur Einsicht, dass ein Rechteck der Höhe zwei Meter und der Breite ein Meter dreißig eine Diagonale von fast zwei Meter vierzig haben müsse – mehr als genug also, um das Regal hindurchzubefördern!

Anmerkung. Aus heutiger Sicht ist nicht ohne Weiteres nachzuvollziehen, dass die oben geschilderte Rechenoperation überhaupt erwähnenswert ist. Fakt ist aber, dass in der damaligen Zeit weder Taschenrechner noch Google existierten und dass es mithin keineswegs so trivial war, die Wurzel aus 5,69 zu errechnen. Zudem bewegte sich Cantor zu jener Zeit in Kreisen, in denen allein die Kenntnis gebrochener Zahlen ihn bereits als Mathematikprofessor brillieren ließ. (Tatsächlich soll sich Cantor sogar verrechnet und eine Diagonale von mehr als sieben Metern herausbekommen haben. Für die Praxis war dieser Lapsus jedoch nicht mehr von Bedeutung.)

Damit war das Problem gelöst. Das Regal musste gekippt und diagonal durch die Tür getragen werden. Cantors Begeisterung war gewaltig, selbst wenn man bedenkt, dass er immerhin sein Leben und das der anderen Arbeiter gerettet hatte. Dennoch scheint es überzogen, dass er sofort eine Frau namens Agathe heiratete, nur um sie „Ag“ zu nennen, wovon er sich unzählige geistreiche Wortspiele mit dem Wort „diagonal“ versprach; tatsächlich fiel ihm in den folgenden fast fünfzig Jahren nur ein einziges ein, und das war grottenschlecht: „Ich nahm die Ag anal.

Mathematische Aussage und Beweis

Cantors Diagonalargument wurde, da zunächst ad hoc postuliert und nicht sorgfältig hergeleitet, im weiteren Verlauf mehrfach umformuliert. Der ursprüngliche Satz lautete: „Mach mal so schräg durch die Ecken, dann müsste es eigentlich gehen!“ Es dürfte auch dem Laien einleuchten, dass dieser Ansatz den Ansprüchen wissenschaftlichen Arbeitens nicht gerecht wird. Im Unterschied dazu ist der Beweis durch wiederholtes Ausprobieren oder auch nur durch scharfes Hinsehen eine valide Vorgehensweise, die auch heute noch breite Anwendung findet. Gleich nach Feierabend entwickelte Cantor eine mathematischer anmutende Version seiner bahnbrechenden Entdeckung, die er jedoch rasch wieder verwarf, da sie dem Satz des Pythagoras verdächtig ähnlich sah. Schlussendlich zauberte er dann aber eine unendliche Folge von kaputten Zahlen (z.B. 3/5, 21/11 und 27/14) aus dem Hut, die er in Form von Diagonalen anordnete, bis sie schließlich die ganze Tür bedeckten.

[math]\begin{array}{lclclclclc} \frac 11\ _{\color{Blue} (1)} & {\color{MidnightBlue}\rightarrow} & \frac 12\ _{\color{Blue} (2)} & & \frac 13\ _{\color{Blue} (5)} & {\color{MidnightBlue}\rightarrow} & \frac 14\ _{\color{Blue} (6)} & & \frac 15\ _{\color{Blue} (11)} & {\color{MidnightBlue}\rightarrow} \\ & {\color{MidnightBlue}\swarrow} & & {\color{MidnightBlue}\nearrow} & & {\color{MidnightBlue}\swarrow} & & {\color{MidnightBlue}\nearrow} & & \\ \frac 21\ _{\color{Blue} (3)} & & \frac 22\ _{\color{Blue} (\cdot)} & & \frac 23\ _{\color{Blue} (7)} & & \frac 24\ _{\color{Blue} (\cdot)} & & \frac 25 & \cdots \\ {\color{MidnightBlue}\downarrow} & {\color{MidnightBlue}\nearrow} & & {\color{MidnightBlue}\swarrow} & & {\color{MidnightBlue}\nearrow} & & & & \\ \frac 31\ _{\color{Blue} (4)} & & \frac 32\ _{\color{Blue} (8)} & & \frac 33\ _{\color{Blue} (\cdot)} & & \frac 34 & & \frac 35 & \cdots \\ & {\color{MidnightBlue}\swarrow} & & {\color{MidnightBlue}\nearrow} & & & & & & \\ \frac 41\ _{\color{Blue} (9)} & & \frac 42\ _{\color{Blue} (\cdot)} & & \frac 43 & & \frac 44 & & \frac 45 & \cdots \\ {\color{MidnightBlue}\downarrow} & {\color{MidnightBlue}\nearrow} & & & & & & & & \\ \frac 51\ _{\color{Blue} (10)} & & \frac 52 & & \frac 53 & & \frac 54 & & \frac 55 & \cdots \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & \\ \end{array}[/math]

Neben den argwöhnischen Blicken der Nachbarn und der Abwehr böser Geister bezweckte er damit insbesondere den Nachweis der Abzählbarkeit aller positiven rationalen Zahlen (und damit auch gleich ganz [math]\mathbb{Q}[/math]); ob ihm das selbst so ganz bewusst war, darf allerdings bezweifelt werden. Äußerst bedauerlich ist auch sein anschließender Versuch, die zwei einzigen ihm bekannten irrationalen Zahlen (Pi und m, die Masse seiner Mutter) durch nachträgliches Aufpinseln noch in die Beweisführung mit einzubeziehen.

Cantors zweites Diagonalargument

Von nun schier überschäumender Begeisterung für das Diagonale getragen, formulierte Georg Cantor bald das zweite Diagonalargument als Verallgemeinerung des ersten:

DIAGONAL IST IMMER BESSER!!!1
(nur original im Versalsatz, immerhin glaubte er sich als Sprachrohr Gottes)

Gemeint war hier im Prinzip eigentlich nur seine Entdeckung, dass er auf dem Heimweg von der Arbeit insgesamt über zwanzig Schritte sparen konnte, wenn er nicht erst der einen Straße folgte, um dann abzubiegen und die nächste zu nehmen, sondern stattdessen quer (respektive diagonal) durch die dazwischen liegenden Gärten stapfte. Dass diese Einsicht quasi identisch mit der längst bekannten Dreiecksungleichung war und dass er den Unmut der gesamten Nachbarschaft auf sich zog, [[Massivkopf|kümmerte den Wandersmann nicht die Bohne]], denn er interessierte sich weder für Mathematik noch für die Befindlichkeiten seiner Mitmenschen.

So fand Georg Cantor im letzten Jahr des ersten Weltkriegs schließlich sein unrühmliches Ende: Nachdem er dem Diagonalwahn endgültig erlegen war und seine Pferdekutsche quer durch die Staatskapelle Halle gesteuert hatte, folgte auf Dekret Kaiser Wilhelms II. gleich vor Ort die standesamtliche Erschießung.