Wer A sagt, muss auch B sagen

Voraussetzungen

Wer A sagt, muss auch B sagen:

[math]A \Rightarrow A \cap B[/math]

Wer B sagt, darf weder A noch D sagen:

[math]B \Rightarrow \overline{A \cup D}[/math]

Wer D sagt, muss A genau dann sagen, wenn er C sagt:

[math]D \Rightarrow A \equiv C[/math]

Wer nicht A sagt, muss D sagen:

[math]\overline{A} \Rightarrow \overline{A} \cap D[/math]

Frage

Was muss man eigentlich sagen, was darf man nicht sagen?

Einzelbetrachtung

A

Sagt man A, gilt:

[math] \begin{align} & A\\ \Rightarrow & A \cap B\\ \Rightarrow & A \cap \overline{A \cup D}\\ = & A \cap \overline{A} \cap \overline{D} \end{align} [/math]

☇ Widerspruch! => A darf man nicht sagen.

B

Sagt man B, gilt:

[math] \begin{align} & B\\ \Rightarrow & B \cap \overline{A \cup D}\\ = & B \cap \overline{A} \cap \overline{D}\\ \Rightarrow & B \cap (\overline{A} \cap D) \cap \overline{D} \end{align} [/math]

☇ Widerspruch! => B darf man nicht sagen.

C

Sagt man C, gilt:

• für den Fall [math]D\!\,[/math]:

[math] \begin{align} & C \cap D\\ \Rightarrow & C \cap D \cap A \end{align} [/math]

Da A nicht gültig => C darf man nicht sagen, wenn [math]D\!\,[/math]

• für den Fall [math]\overline{D}[/math]:

[math] \begin{align} & C \cap \overline{D}\\ = & (C \cap \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{D}) \cup (C \cap A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (C \cap B \cap \overline{A} \cap \overline{D}) \cup (C \cap A \cap B \cap \overline{D})\\ \end{align} [/math]

Teiluntersuchung:

• • [math] \begin{align} & (C \cap \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{D})\\ \Rightarrow & (C \cap (\overline{A} \cap D) \cap \overline{B} \cap \overline{D}) \end{align} [/math]

=> ☇ Widerspruch!

• • [math](C \cap A \cap \overline{B} \cap \overline{C})[/math] siehe #A => da A nicht gültig, ist die ganze Teilaussage nicht gültig

• • [math](C \cap B \cap \overline{A} \cap \overline{D})[/math] siehe #B => da B nicht gültig, ist die ganze Teilaussage nicht gültig

• • [math](C \cap A \cap B \cap \overline{D})[/math] siehe #A => da A nicht gültig, ist die ganze Teilaussage nicht gültig

Keine Teilaussage gültig => C darf man nicht sagen, wenn [math]\overline{D}[/math]

=>

C darf man nicht sagen.

D

Sagt man D, gilt:

• für den Fall [math]C\!\,[/math]:

[math] \begin{align} & D \cap C\\ \Rightarrow & D \cap C \cap A\\ \end{align} [/math]

Da A nicht gültig => D darf man nicht sagen, wenn [math]C\!\,[/math]

• für den Fall [math]\overline{C}[/math]:

[math] \begin{align} & D \cap \overline{C}\\ = & (D \cap \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (D \cap A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (D \cap B \cap \overline{A} \cap \overline{C}) \cup (D \cap A \cap B \cap \overline{C})\\ \end{align} [/math]

Teiluntersuchung:

• • [math] \begin{align} & (D \cap \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})\\ \Rightarrow & (D \cap (\overline{A} \cap D) \cap \overline{B} \cap \overline{C})\\ \Rightarrow & (D \cap (\overline{A} \cap D) \cap D) \cap \overline{B} \cap \overline{C})\\ \Rightarrow & (D \cap (\overline{A} ... \end{align} [/math]

=> immer durchführbar, keine sonstige Voraussetzung => [math](D \cap \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})[/math] ist gültig!

• • [math](D \cap A \cap \overline{B} \cap \overline{C})[/math] siehe #A => da A nicht gültig, ist die ganze Teilaussage nicht gültig

• • [math](D \cap B \cap \overline{A} \cap \overline{C})[/math] siehe #B => da B nicht gültig, ist die ganze Teilaussage nicht gültig

• • [math](D \cap A \cap B \cap \overline{C})[/math] siehe #A => da A nicht gültig, ist die ganze Teilaussage nicht gültig

erste Teilaussage gültig => [math]D \cap \overline{C}[/math] gültig!

Ergebnis

[math]D \cap \overline{C}[/math] ist die einzig gültige Möglichkeit.

Lösung

Man muss D sagen und zugleich darf man nicht C sagen.