Wer A sagt, muss auch B sagen

Voraussetzungen

Wer A sagt, muss auch B sagen:

$A \Rightarrow A \cap B$

Wer B sagt, darf weder A noch D sagen:

$B \Rightarrow \overline{A \cup D}$

Wer D sagt, muss A genau dann sagen, wenn er C sagt:

$D \Rightarrow A \equiv C$

Wer nicht A sagt, muss D sagen:

$\overline{A} \Rightarrow \overline{A} \cap D$

Frage

Was muss man eigentlich sagen, was darf man nicht sagen?

Einzelbetrachtung

A

Sagt man A, gilt:

$\begin{align} & A\\ \Rightarrow & A \cap B\\ \Rightarrow & A \cap \overline{A \cup D}\\ = & A \cap \overline{A} \cap \overline{D} \end{align}$

☇ Widerspruch! => A darf man nicht sagen.

B

Sagt man B, gilt:

$\begin{align} & B\\ \Rightarrow & B \cap \overline{A \cup D}\\ = & B \cap \overline{A} \cap \overline{D}\\ \Rightarrow & B \cap (\overline{A} \cap D) \cap \overline{D} \end{align}$

☇ Widerspruch! => B darf man nicht sagen.

C

Sagt man C, gilt:

• für den Fall $D\!\,$:

$\begin{align} & C \cap D\\ \Rightarrow & C \cap D \cap A \end{align}$

Da A nicht gültig => C darf man nicht sagen, wenn $D\!\,$

• für den Fall $\overline{D}$:

$\begin{align} & C \cap \overline{D}\\ = & (C \cap \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{D}) \cup (C \cap A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (C \cap B \cap \overline{A} \cap \overline{D}) \cup (C \cap A \cap B \cap \overline{D})\\ \end{align}$

Teiluntersuchung:

• • $\begin{align} & (C \cap \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{D})\\ \Rightarrow & (C \cap (\overline{A} \cap D) \cap \overline{B} \cap \overline{D}) \end{align}$

=> ☇ Widerspruch!

• • $(C \cap A \cap \overline{B} \cap \overline{C})$ siehe #A => da A nicht gültig, ist die ganze Teilaussage nicht gültig

• • $(C \cap B \cap \overline{A} \cap \overline{D})$ siehe #B => da B nicht gültig, ist die ganze Teilaussage nicht gültig

• • $(C \cap A \cap B \cap \overline{D})$ siehe #A => da A nicht gültig, ist die ganze Teilaussage nicht gültig

Keine Teilaussage gültig => C darf man nicht sagen, wenn $\overline{D}$

=>

C darf man nicht sagen.

D

Sagt man D, gilt:

• für den Fall $C\!\,$:

$\begin{align} & D \cap C\\ \Rightarrow & D \cap C \cap A\\ \end{align}$

Da A nicht gültig => D darf man nicht sagen, wenn $C\!\,$

• für den Fall $\overline{C}$:

$\begin{align} & D \cap \overline{C}\\ = & (D \cap \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (D \cap A \cap \overline{B} \cap \overline{C}) \cup (D \cap B \cap \overline{A} \cap \overline{C}) \cup (D \cap A \cap B \cap \overline{C})\\ \end{align}$

Teiluntersuchung:

• • $\begin{align} & (D \cap \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})\\ \Rightarrow & (D \cap (\overline{A} \cap D) \cap \overline{B} \cap \overline{C})\\ \Rightarrow & (D \cap (\overline{A} \cap D) \cap D) \cap \overline{B} \cap \overline{C})\\ \Rightarrow & (D \cap (\overline{A} ... \end{align}$

=> immer durchführbar, keine sonstige Voraussetzung => $(D \cap \overline{A} \cap \overline{B} \cap \overline{C})$ ist gültig!

• • $(D \cap A \cap \overline{B} \cap \overline{C})$ siehe #A => da A nicht gültig, ist die ganze Teilaussage nicht gültig

• • $(D \cap B \cap \overline{A} \cap \overline{C})$ siehe #B => da B nicht gültig, ist die ganze Teilaussage nicht gültig

• • $(D \cap A \cap B \cap \overline{C})$ siehe #A => da A nicht gültig, ist die ganze Teilaussage nicht gültig

erste Teilaussage gültig => $D \cap \overline{C}$ gültig!

Ergebnis

$D \cap \overline{C}$ ist die einzig gültige Möglichkeit.

Lösung

Man muss D sagen und zugleich darf man nicht C sagen.