Pizzaservice-Problematik

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Objekt der Gleichung

Dieser Artikel beschäftigt sich mit dem Mathematischen Problem des Pizzakaufs und benötigt vielleicht ein wenig Vorwissen in höherer Arithmetik, Geometrie, Stochastik, Algebra, Differentialgleichungen, Numerischer Mathematik, Kernphysik und Physiologischen Brennwerten.

Eine große Pizza oder mehrere kleine?[Bearbeiten]

Die Pizzaservice Problematik stellt ein weitverbreitetes Problem dar, welches nun mit Hilfe modernster algebraischer Rechenvorgänge gelöst werden konnte. Eigentlich kennt doch jeder die Situation: ein lustiger feuchtfröhlicher Abend doch irgendwann tritt der Hunger herein. Die Antwort ist schnell gefunden: Pizza muss her! Hier bietet sich ein regionales Unternehmen an, nennen wir es einmal Panther P. (Schleichwerbung wollen wir ob der überagenden Qualität hier nicht machen, aber schaut euch doch mal die Homepage an)

Doch dann kommt die große Frage: Bestellen wir (sprich die anwesenden "Partylöwen") mehrere normale Pizzen oder eine große Partypizza?

Wie gut, dass wir in der Schule aufgepasst haben (Achtung: hier liegt der beliebte pädagogische Hintergrund verborgen!) und Mathe können.

Eine „Maxi Pizza“ ist näherungsweise kreisförmig mit Durchmesser 30cm, kostet 6,50€.


Daraus können wir den Preis pro Quadratzentimeter Pizza berechnen:

A_{{Kreis}}=\pi r^{{2}}{\frac  {}{}}
\rightarrow A_{{Maxi}}=\pi 15^{{2}}=706,5{\frac  {}{}}
\rightarrow L_{{LeistungMaxi}}={\frac  {Preis}{Flaeche}}={\frac  {6,5}{706,5}}=9.2*10^{{-3}}


Eine „Party Pizza“ ist näherungsweise rechteckig mit 40 X 60 cm, kostet 17,50€

A_{{Party}}=40*60=2400{\frac  {}{}}
\rightarrow L_{{LeistungParty}}={\frac  {17,5}{2400}}=7,2*10^{{-3}}


Vom Preis-Leistungs-Verhältnis her gesehen, ist also eine „Party Pizza“ günstiger als eine „Maxi Pizza“ (q.e.d.).

Verlustrechnung[Bearbeiten]

Spaltungsverhalten bei manueller Teilung ist kaum vorhersehbar.

Ab welcher Anzahl Personen lohnt es sich nun aber eine große Pizza zu bestellen, ohne dass die Einzelpersonen an essbarer Fläche (den Rand mit gerechnet) verlieren?

Dazu stellen wir am besten eine Folge auf:

n{\frac  {}{}} sei die Anzahl beteiligter Personen; A_{{n}}{\frac  {}{}} sei die Fläche Pizza pro Person bei n{\frac  {}{}} Personen.


A_{{n}}={\frac  {Gesamtflaeche}{Personenanzahl}}


Für eine Maxi-Pizza gilt:
(Logischerweise werden so viele „Maxi Pizzen“ bestellt wie Personen anwesend)

A_{{n}}={\frac  {n*A_{{Maxi}}}{n}}=A_{{Maxi}}


Und für eine Party Pizza:
(wir gehen der Einfachheit halber davon aus, wir bestellen nur eine „Party Pizza“)

A_{{n}}={\frac  {A_{{Party}}}{n}}


Nun lässt sich eine Ungleichung aufstellen:

{\frac  {A_{{Party}}}{n}}\geq A_{{Max}}
\rightarrow {\frac  {A_{{Party}}}{A_{{Max}}}}\geq n


Das heißt wir suchen nun ein n für welches die Fläche pro Person bei einer „Party Pizza“ größer ist, als bei der Bestellung von mehreren „Maxi Pizzas“.


Preis[Bearbeiten]

Tiefkühlpizzen unterliegen eigenen mathematischen Regeln und sind daher nicht Teil dieser Gleichung

Das Gleiche lässt sich mit dem Preis aufstellen, wobei hierbei natürlich der Preis bei n{\frac  {}{}} Personen für eine „Party Pizza“ billiger sein sollte:


{\frac  {P_{{Party}}}{n}}\leq P_{{Max}}

\rightarrow {\frac  {P_{{Party}}}{P_{{Max}}}}\leq n


Diese Bedingungen können wir nun zusammenfassen:


{\frac  {P_{{Party}}}{P_{{Max}}}}\leq n\leq {\frac  {A_{{Party}}}{A_{{Max}}}}


Um mal konkret zu werden bedeutet dies:


{\frac  {17,5}{6,5}}\leq n\leq {\frac  {2400}{706,5}}
\rightarrow 2,69\leq n\leq 3,39{\frac  {}{}}


Als Fazit schließen wir daraus, es lohnt sich eine große „Party Pizza“ zu bestellen ausschließlich für 3 Personen, für 2 Personen sind einzelne „Maxi Pizzen“ billiger und für 4 Personen bleibt leider bei einer „Party Pizza“ weniger Fläche für den Einzelnen übrig, deshalb meine Empfehlung nehmt lieber eine Party Pizza und noch eine Maxi Pizza dazu.

Bekomm ich bei der großen oder bei der kleinen Pizza weniger Rand? (Randwertproblem)[Bearbeiten]

Wenn man dies nicht beachtet, kann die Gleichung unkontrollierten Rand zur Folge haben, was ziemlich schade ist: Rand ist lecker

Des Weiteren stellt sich noch die Frage, in welcher Kombination nun der prozentuale Anteil des Pizzarandes, welcher eher als unerwünscht (da weniger Belag enthalten) gilt am geringsten ist. Dabei gehen wir davon aus, dass jede Pizza etwa einen Randstreifen von ca 2 cm besitzt.


Also berechnet sich die Fläche des Randes A_{{RandMaxi}}{\frac  {}{}} für eine "Maxi Pizza" (r=15{\frac  {}{}}) wie folgt:


A_{{RandMaxi}}=A_{{Maxi}}-A_{{MaxiBelag}}{\frac  {}{}}
=\pi r^{{2}}-\pi (r-2)^{{2}}=\pi (r^{{2}}-(r-2)^{{2}}){\frac  {}{}}


Daraus folgt der prozentuale Anteil des Randes an der "Maxi Pizza" \rho _{{RandMaxi}}{\frac  {}{}} :


\rho _{{RandMaxi}}={\frac  {A_{{RandMaxi}}}{A_{{Maxi}}}}={\frac  {\pi (r^{{2}}-(r-2)^{{2}})}{\pi r^{{2}}}}={\frac  {(r^{{2}}-(r-2)^{{2}})}{r^{{2}}}}=0,25\rightarrow 25\%


Dies lässt sich ebenso für eine "Party Pizza" bestimmen:


A_{{RandParty}}=A_{{Party}}-A_{{PartyBelag}}=(40*60)-(36*56)=384{\frac  {}{}}
\rho _{{RandParty}}={\frac  {A_{{RandParty}}}{A_{{Party}}}}={\frac  {384}{2400}}=0,16\rightarrow 16\%


Diesen Anteil Rand muss man nun noch auf die mitessenden Personen aufteilen:

Bei der "Maxi Pizza" isst normal nur eine Person somit ergibt sich ein persönlicher Anteil von \rho =25\%{\frac  {}{}}

Die "Party Pizza" wird im oben berechneten Idealfall von 3 Personen verspeist, was (bei gerechter Verteilung, welche sich unter Umständen als schwierig erweisen könnte [Pizza hat 4 Randseiten die unter 3 Personen verteilt werden müssen...], also muss man auf die menschliche Komponente ebenfalls Rücksicht nehmen) einen persönlichen Anteil von \rho ={\frac  {16}{3}}\%=5,3\%

Diese Rechnung sollte gezeigt haben, dass die Bestellung einer "Party Pizza" gegenüber der Bestellung von 3 "Maxi Pizzen" noch weitere Vorteile bietet, allerdings bei einem menschlichen Fehler unvorhersehbare Fluktuationen hervorrufen kann.

Siehe auch[Bearbeiten]